Обратная математика : доказательства, вывернутые наизнанку

Содержание книги "Обратная математика : доказательства, вывернутые наизнанку"

Предисловие
Глава 1. Историческое введение
1.1. Евклид и аксиома параллельных
Аксиома параллельных
Эквиваленты аксиомы параллельных
1.2. Сферическая и неевклидова геометрия
Модели неевклидовой геометрии
Новые основания геометрии и математики
1.3. Векторная геометрия
Линейная геометрия Грассмана
Превращение векторного пространства в неевклидово
1.4. Аксиомы Гильберта
Алгебраическое содержание аксиом Гильберта
1.5. Полная упорядоченность и аксиома выбора
Несчетность
Полная упорядоченность
Теорема о полном упорядочении и аксиомы Цермело
Математический эквивалент аксиомы выбора
1.6. Логика и вычислимость
Арифметизация
Глава 2. Классическая арифметизация
2.1. От натуральных чисел к рациональным
Целые числа
Рациональные числа
Алгебраические свойства
2.2. От рациональных чисел к вещественным
Комплексные числа
2.3. Свойства полноты R
Последовательности вложенных отрезков
Критерий сходимости Коши
2.4. Функции и множества
Функции пересчета пар
Кодирование последовательностей и некоторых других функций
2.5. Непрерывные функции
Кодирование непрерывных функций рациональными интервалами
2.6. Аксиомы Пеано
Аксиомы следования
Аксиомы суммы и произведения
Индукция
Примеры доказательств по индукции
2.7. Язык PA
Упрощение связок
Предваренная форма
2.8. Арифметически определимые множества
Σ -свойства
2.9. Пределы арифметизации
Диагональный метод Кантора
Определимость и вычислимость
Глава 3. Классический анализ
3.1. Пределы
Пределы последовательностей
Пределы функций
Предельные точки множества
3.2. Алгебраические свойства пределов
3.3. Непрерывность и промежуточные значения
Основная теорема алгебры
3.4. Теорема Больцано–Вейерштрасса
3.5. Лемма Гейне–Бореля
3.6. Теорема о достижении экстремальных значений
3.7. Равномерная непрерывность
Интегрируемость по Риману
3.8. Канторово множество
3.9. Деревья в анализе
Арифметизация деревьев
Глава 4. Вычислимость
4.1. Вычислимость и тезис Чёрча
4.2. Проблема остановки
4.3. Эффективно перечислимые множества
4.4. Вычислимые последовательности в анализе
4.5. Вычислимое дерево, не имеющее вычислимых путей
4.6. Вычислимость и неполнота
4.7. Вычислимость и анализ
Конструктивные подходы к анализу
Глава 5. Арифметизация вычисления
5.1. Формальные системы
5.2. Элементарные формальные системы Смаллиана
Примеры систем аксиом
5.3. Нотация для положительных целых чисел
Универсальные элементарные формальные системы
5.4. Анализ вычисления, предпринятый Тьюрингом
От машин Тьюринга к элементарным формальным системам
5.5. Операции над ЭФС-порожденными множествами
5.6. Порождение Σ -множеств
5.7. ЭФС для Σ -отношений
Булевы комбинации равенств
Ограниченные кванторы
5.8. Арифметизация элементарных формальных систем
Слова и числа
Конечные последовательности
ЭФС-порожденные множества – то же, что Σ
5.9. Арифметизация эффективного перечисления
Арифметизация рекурсии
Эффективное перечисление
5.10. Арифметизация вычислимого анализа
Пример доказательства в RCA₀
Минимальная модель RCA₀
Глава 6. Арифметическое выделение
6.1. Система аксиом ACA₀
Минимальная модель ACA₀
6.2. Σ -выделение и арифметическое выделение
Σ -выделение и область значений функций
Индукция и системы более слабые, чем ACA₀
6.3. Свойства полноты в ACA₀
6.4. Арифметизация деревьев
6.5. Лемма Кёнига о бесконечном пути
6.6. Теория Рамсея
6.7. Некоторые результаты из математической логики
6.8. Арифметика Пеано в ACA₀
Относительная непротиворечивость ACA₀
Глава 7. Рекурсивное выделение
7.1. Система аксиом RCA₀
7.2. Вещественные числа и непрерывные функции
7.3. Теорема о промежуточном значении
7.4. И снова о канторовом множестве
7.5. От леммы Гейне–Бореля к слабой лемме Кёнига
7.6. От слабой леммы Кёнига к лемме Гейне–Бореля
7.7. Равномерная непрерывность
7.8. От слабой леммы Кёнига к экстремальным значениям
7.9. Теоремы WKL₀
Другие топологические теоремы
7.10. WKL₀, ACA₀ и далее
«Большая пятерка» систем
Теоремы Краскала и Робертсона–Сеймура
Глава 8. Более широкая картина
8.1. Конструктивная математика
8.2. Логика предикатов
8.3. Виды неполноты
8.4. Вычислимость
Степени неразрешимости
И арифметически определимые множества
Низкие степени
8.5. Теория множеств
АВ в элементарном анализе
8.6. Понятия «глубины»
Список литературы
Предметный указатель