Численные методы : математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание книги "Численные методы : математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения"

Предисловие
Глава 1. Полиномиальная интерполяция
1.1. Задача и способы аппроксимации функций
1.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
1.3. Интерполяционная схема Эйткена
1.4. Конечные разности
1.5. Конечноразностные интерполяционные формулы
1.6. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов
1.7. Обратное интерполирование
1.8. Интерполяция с кратными узлами
Упражнения
Глава 2. Многочлены Чебышева и наилучшие равномерные приближения
2.1. Определение и свойства многочленов Чебышева
2.2. Интерполяция по чебышевским узлам
2.3. О многочленах наилучших равномерных приближений
2.4. Экономизация степенных рядов
Упражнения
Глава 3. Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения
3.1. Простейшая обработка эмпирических данных методом наименьших квадратов
3.2. Обобщенные многочлены наилучших средне квадратических приближений
3.3. О нормальной системе МИК при полиномиальной аппроксимации
3.4. Системы ортогональных многочленов
3.5. Простая процедура построения системы ортогональных многочленов
3.6. Аппроксимация функций многочленами Фурье
Упражнения
Глава 4. Интерполяционные сплайны
4.1. Кусочно-полиномиальная аппроксимация. Линейные фильтры
4.2. Определение сплайна. Интерполяционный кубический сплайн дефекта 1
4.3. Квадратичный сплайн дефекта 1
4.4. Базисные сплайны
4.5. Эрмитовы (локальные) сплайны
Упражнения
Глава 5. Численное интегрирование
5.1. Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы прямоугольников
5.2. Семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса
5.3. Составные квадратурные формулы трапеций и Симпсона
5.4. Соотношения между формулами прямоугольников, трапеций и Симпсона
5.5. Принцип Рунге практического оценивания погрешностей. Алгоритм Ромберга
5.6. Квадратурные формулы Чебышева и Гаусса
5.7. Формулы Гаусса-Кристоффеля
5.8. Приемы приближенного вычисления несобственных интегралов
Упражнения
Глава 6. Аппроксимация производных
6.1. Вывод формул численного дифференцирования
6.2. Остаточные члены простейших формул численного дифференцирования
6.3. Оптимизация шага численного дифференцирования при ограниченной точности значений функции
Упражнения
Глава 7. Методы Эйлера и Рунге-Кутты решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
7.1. Постановка задачи. Классификация приближенных методов. Метод последовательных приближений
7.2. Метод Эйлера — разные подходы к построению
7.3. Несколько простых модификаций метода Эйлера
7.4. Исправленный метод Эйлера
7.5. О семействе методов Рунге-Кутты. Методы второго порядка
7.6. Методы Рунге-Кутты произвольного и четвертого порядков
7.7. Пошаговый контроль точности. Метод Кутты-Мерсона
Упражнения
Глава 8. Линейные многошаговые методы
8.1. Многошаговые методы Адамса
8.2. Методы прогноза и коррекции. Предикторкорректорные методы Адамса
8.3. Метод Милна четвертого порядка
8.4. Общий вид линейных многошаговых методов. Условия согласованности
8.5. О численном решении систем дифференциальных уравнений первого порядка
8.6. Численное решение дифференциальных уравнений высших порядков. Методы Адамса-Штёрмера
Упражнения
Глава 9. О проблемах численной устойчивости
9.1. Общая схема решения задач численного анализа. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
9.2. Простейшие разностные аппроксимации задачи Коши. Глобальная погрешность метода Эйлера
9.3. Краткие сведения о решениях линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами
9.4. Устойчивость и неустойчивость некоторых простейших разностных схем
9.5. Исследование устойчивости многошаговых методов
9.6. Жесткие уравнения и системы
9.7. А- и П(а)-устойчивость. Чисто неявные методы
Упражнения
Глава 10. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
10.1. Постановка задачи. Классификация приближенных методов
10.2. Методы сведения краевых задач к начальным
10.3. Метод конечных разностей
10.4. Метод коллокации
10.5. Метод Галёркина
10.6. Метод конечных элементов
Упражнения
Глава 11. Численное решение интегральных уравнений
11.1. Некоторые общие сведения об интегральных уравнениях
11.2. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Фредгольма
11.3. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Вольтерра
11.4. Квадратурно-итерационный метод построения резольвент
Упражнения
Приложение. Образцы постановок лабораторных заданий
Литература
Предметный указатель
Указатель обозначений и сокращений
Об а вторе