Основы численных методов линейной алгебры

книга

Основы численных методов линейной алгебры

Здесь можно купить книгу "Основы численных методов линейной алгебры " в печатном или электронном виде. Также, Вы можете прочесть аннотацию, цитаты и содержание, ознакомиться и оставить отзывы (комментарии) об этой книге.

Автор: Рафаил Даутов, Михаил Карчевский

Форматы: PDF

Издательство: Казанский федеральный университет (КФУ)

Год: 2018

Место издания: Казань

ISBN: 978-5-00130-010-6

Страниц: 136

Артикул: 92562

Возрастная маркировка: 16+

Электронная книга

75 ₽

Купить и скачать

Читать фрагмент

Аннотация

Краткая аннотация книги "Основы численных методов линейной алгебры"

В пособии излагаются основные принципы построения и исследования численных методов решения задач линейной алгебры. Приведены практические задания по методам, изучаемым в пособии. Пособие предназначено для студентов направлений «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика».

Содержание

Содержание книги "Основы численных методов линейной алгебры "

Предисловие
Глава 1. Примеры задач, приводящих к системам линейных алгебраических уравнений
§ 1. Системы нелинейных уравнений
§ 2. Приближение функций
§ 3. Задача Коши для дифференциальных уравнений
§ 4. Интегральные уравнения
§ 5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 6. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных
Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
§ 1. Трудоемкость базовых операций линейной алгебры
§ 2. Простые системы уравнений
§ 3. Метод исключения Гаусса
§ 4. Метод Холесского
§ 5. Унитарная триангуляция матриц
§ 6. Построение обратной матрицы
§ 7. Метод прогонки для систем с трехдиагональными матрицами
Глава 3. Вспомогательные сведения из теории операторов. Системы уравнений общего вида
§ 1. Дефект и ранг линейного оператора
§ 2. Ранг матрицы
§ 3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия разрешимости
§ 4. Линейные уравнения в евклидовом пространстве
§ 5. Псевдорешение. Метод регуляризации Тихонова
§ 6. Сингулярное разложение оператора
Глава 4. Нормы векторов и матриц
§ 1. Основные неравенства
§ 2. Нормы на пространстве Cn
§ 3. Теорема Хана — Банаха. Дуальные нормы
§ 4. Нормы на пространстве матриц
Глава 5. Элементы теории возмущений
§ 1. Задача на собственные значения для эрмитовой матрицы
§ 2. Собственные числа произвольной матрицы
§ 3. Возмущения и обратимость матрицы
§ 4. Устойчивость систем линейных уравнений
Глава 6. Итерационные методы решения систем линейных уравнений
§ 1. Простейшие итерационные методы
§ 2. Элементы общей теории итерационных методов
§ 3. Итерационные методы вариационного типа
Глава 7. Алгебраическая проблема собственных значений
§ 1. Методы прямой и обратной итераций
§ 2. Метод Якоби решения задач на собственные значения
§ 3. QR-алгоритм
Глава 8. Практикум по численным методам
§ 1. Варианты систем линейных уравнений
§ 2. Задание 1. Решение трехдиагональных систем уравнений
§ 3. Задание 2. Метод Гаусса
§ 4. Задание 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента
§ 5. Задание 4. Итерационные методы вариационного типа
§ 6. Задание 5. Метод Якоби решения задачи на собственные значения
Основные обозначения
Литература

Отзывы

Все отзывы о книге Основы численных методов линейной алгебры

Чтобы оставить отзыв, зарегистрируйтесь или войдите

Отрывок из книги Основы численных методов линейной алгебры

16Глава 1. Примеры задач, приводящих к системам линейных уравненийи рассмотрим уравнение (5.1) только во внутренних точках сетки.Получим−u′′(xi) +q(xi)u(xi) =f(xi),i= 1, . . . , n−1.Определим формулу для приближенного вычисленияu′′(xi)как ком-бинацию разностных отношений (3.4) и (3.5):u¯x x(x) = (u¯x)x(x) =u(x−h)−2u(x) +u(x+h)h2.(5.3)Разложением в ряд Тейлора показывается, чтоu′′(x)−u¯x x(x) =O(h2), еслиu(x)достаточно гладкая функция. Используя форму-лу (5.3) для аппроксимацииu′′(xi), придем к приближенным равен-ствам−u¯x x(xi) +q(xi)u(xi)≈f(xi),i= 1, . . . , n−1.Приближениеyiкu(xi)будем искать из равенств−yi−1−2yi+yi+1h2+q(xi)yi=f(xi),i= 1, . . . , n−1.Умножим обе части этих соотношений наh2и приведем подобныечлены. Присоединяя к ним краевые условияy0=ua,yn=ub, придемк дискретной задаче, которая называется конечно-разностной схемой:найтиy= (y0, y1, . . . , yn)Tиз системы алгебраических уравненийy0=ua,−yi−1+(2 +h2q(xi))yi−yi+1=h2f(xi),i= 1, . . . , n−1,(5.4)yn=ub.МатрицаAnэтой системы имеет специальный вид: ее ненулевые эле-менты расположены лишь на трех диагоналях. Такие матрицы на-зываются трехдиагональными. Известно, чтоAnесть положительноопределенная матрица, еслиq(x)>0на[a, b]. В этом случае систе-ма (5.4) однозначно разрешима.ВеличинаE=maxi=0, . . . ,N|u(xi)−yi|определяет максимальную по-грешность приближенного решения задачи. Для достаточно гладкихданныхq(x)иf(x)для нее известна оценкаE6C h2, где постоян-наяCне зависит отh. Следовательно, уменьшая шаг сеткиh(т. е.увеличивая число точек сеткиnи размерность решаемой системыуравнений) мы можем добиться сколь угодно малой погрешности при-ближенного решения.

С книгой "Основы численных методов линейной алгебры" читают